Расчет цепей с конденсаторами

Практическое занятие №4 Тема: Расчет общей емкости конденсатора

КГБ ПОУ 2

Преподаватель междисциплинарного курса

Практическое занятие №4

Тема: Расчет общей емкости конденсатора

Цель: рассчитать напряжение, заряд, емкость конденсаторов и их энергию в электрических цепях постоянного тока с последовательным, параллельным и смешанным соединением конденсаторов.

Ход работы

1. Изучить краткие теоретические сведения.

2. Рассмотреть примеры выполнения задания.

3. Выполнить индивидуальное задание.

1. Краткие теоретические сведения

Конденсатор – электронный компонент, предназначенный для накопления электрического заряда. Способность конденсатора накапливать электрический заряд зависит от его главной характеристики – емкости. Емкость конденсатора (С) определяется как соотношение количества электрического заряда (Q) к напряжению (U).

где С емкость конденсатора, Ф

Q – заряд конденсатора, Кл

U – напряжение на конденсаторе, В

Энергия конденсатора зависит от его емкости. Поэтому при изменении емкости заряженного конденсатора будем изменяться его энергия:

где W – энергия конденсатора, Дж

В электрических цепях применяются различные способы соединения конденсаторов.

Соединение конденсаторов может производиться: последовательно, параллельно и смешанно (то есть последовательно-параллельно). Существующие виды соединения конденсаторов показаны на рисунке 1.

Рисунок 1. Способы соединения конденсаторов.

Параллельное соединение конденсаторов.

Если группа конденсаторов включена в цепь таким обра­зом, что к точкам включения непосредственно присоединены пластины всех конденсаторов, то такое соединение называется параллельным соединением конденсаторов (рисунок 2.).

Рисунок 2. Параллельное соединение конденсаторов.

При заряде группы конденсаторов, соединенных параллель­но, между пластинами всех конденсаторов будет одна и та же разность потенциалов, так как все они заряжаются от одного и того же источника тока.

U = UC1 = UC2 = UC3 = …

Общее же количе­ство электричества на всех конденсаторах будет равно сумме количеств электричества, помещающихся на каждом из кон­денсаторов, так как заряд каждого их конденсаторов проис­ходит независимо от заряда других конденсаторов данной группы:

Q = Q1 + Q2 + Q3 + …

Исходя из этого, всю систему параллельно соединен­ных конденсаторов можно рассматривать как один эквива­лентный (равноценный) конденсатор. Тогда общая емкость конденсаторов при параллельном соединении равна сумме емкостей всех соединенных конденсаторов.

Обозначим суммарную емкость соединенных в батарею конденсаторов бук­вой Собщ, емкость первого конденсатора С1 емкость второго С2 и емкость третьего С3. Тогда для параллельного соединения конденсаторов будет справедлива следующая формула:

Собщ = С1 + С2 + С3 + …

Последний знак + и многоточие указывают на то, что этой формулой можно пользоваться при четырех, пяти и во­обще при любом числе конденсаторов.

Последовательное соединение конденсаторов.

Если же соединение конденсаторов в батарею производится в виде цепочки и к точкам включения в цепь непосредственно присоединены пластины только первого и последнего конденсаторов, то такое соединение конденсаторов называется последо­вательным (рисунок 3).

Рисунок 3. Последовательное соединение конденсаторов.

При последовательном соединении все конденса­торы заряжаются одинаковым количеством электричества, так как непосредственно от источника тока заряжаются только крайние пластины (1 и 6), а остальные пластины (2, 3, 4 и 5) заря­жаются через влияние. При этом заряд пла­стины 2 будет равен по величине и противо­положен по знаку за­ряду пластины 1, заряд пластины 3 будет равен по величине и противоположен по знаку заряду пла­стины 2 и т. д. Всю группу конденсаторов, соединенных последовательно, можно рассмотреть как один эквивалентный конденсатор, между пластинами которого существует напряжение, равное сумме напряжений на всех конденсаторах группы, а заряд которого равен заряду любого из конденсаторов группы.

Q = Q1 = Q2 = Q3 = …

Напряжения на различных конденсаторах будут различными, так как для заряда одним и тем же количеством электричества конденсаторов различной емкости всегда требуются различные напряжения.

U = UC1 + UC2 + UC3 + …

Чем меньше емкость конденсатора, тем большее напряжение необходимо для того, чтобы зарядить этот конденсатор требуемым количеством электричества, и наоборот.

Таким образом, при заряде группы конденсаторов, соединенных последовательно, на конденсаторах малой емкости напряжения будут больше, а на конденсаторах большой емкости — меньше.

Для вычисления общей емкости при последовательном со­единении конденсаторов удобнее всего пользоваться следую­щей формулой:

Для частного случая двух последовательно соединенных конденсаторов рисунок 4

Рисунок 4. Последовательное соединение двух конденсаторов

Формула для вычисления их общей емкости будет иметь вид:

Смешанное (последовательно-параллельное)

соединение конденсаторов

Последовательно-параллельным соединением конденсаторов называется цепь имеющая в своем составе участки, как с параллельным, так и с последовательным соединением конденсаторов.

На рисунке 5 приведен пример участка цепи со смешанным соединением конденсаторов.

Рисунок 5. Последовательно-параллельное соединение конденсаторов.

При расчете общей емкости такого участка цепи с последовательно-параллельным соединением конденсаторов этот участок разбивают на простейшие участки, состоящие только из групп с последовательным или параллельным соединением конденсаторов.

Всякое смешанное соединение конденсаторов путем упрощений может быть сведено либо к параллельному соединению, либо к последовательному.

Алгоритм расчета имеет вид:

1. Определяют эквивалентную емкость участков с последовательным соединением конденсаторов.

2. Если эти участки содержат последовательно соединенные конденсаторы, то сначала вычисляют их емкость.

3. После расчета эквивалентных емкостей конденсаторов перерисовывают схему. Обычно получается цепь из последовательно соединенных эквивалентных конденсаторов.

4. Рассчитывают емкость полученной схемы.

Один из примеров расчета емкости при смешанном соединении конденсаторов приведен на рисунке 6.

Рисунок 6. Алгоритм сворачивания схемы при смешанном соединении конденсаторов

2. Пример выполнения задания

Пример 1.

Дано: Решение:

С1 = 8 мкФ

С2 = 4 мкФ

С3 = 6 мкФ

С4 = 4 мкФ

U = 36 В 1. Конденсаторы С1 и С2 соединены параллельно:

Собщ, q1, q2, q3, С1,2 = С1 + С2 = 8×10-6 + 4×10-6 = 12×10-6 Ф = 12 мкФ

q4, q, W1, W2, 2. Конденсаторы С3 и С4 соединены последовательно:

W3, W4, W — ?

3. Общая емкость:

Собщ =

4. Определим заряд цепи:

q = Собщ×U = 2×10-6×36 = 72×10-6 Кл = 72 мкКл

При последовательном соединении конденсаторов:

q = q1,2 = q3 = q4 = 72 мкКл

Тогда, напряжение на участках цепи

U1,2 =

U3 =

U4 =

U1,2 = U1 = U2 = 6 В, тогда

q1 = C1×U1 = 8×10-6×6 = 48×10-6 Кл = 48 мкКл

q2 = C2×U2 = 4×10-6×6 = 24×10-6 Кл = 24 мкКл

5. Энергия всей цепи:

W = = 1,29 мДж

Энергия электрического поля каждого конденсатора:

W1 =

W2 =

W3 =

W4 =

Ответ: Собщ = , q1 = 48 мкКл, q2 = 24 мкКл, q = q3 = q4 = 72 мкКл,

W1 , W2 , W3 , W4 ,

W = 1,29 мДж.

Пример2

Эквивалентная емкость верхней ветви

Эквивалентная емкость нижней цепи

Теперь это смешанное соединение конденсаторов может быть приведено к параллельному соединению. Эквивалентная емкость всей батареи конденсаторов

Пример 3

Эквивалентная емкость между точками 1 и 2:

С1,2=С1+С2

Эквивалентная емкость между точками 2 и 3

С3,4=С3+С4

Теперь это смешанное соединение конденсаторов может быть приведено к последовательному соединению

Эквивалентная емкость батареи конденсаторов

Пример 4

Конденсатор емкостью С=2 мкф и номинальным рабочим напряжением Up=600 в вышел из строя.

Составить схему замены его конденсаторами емкостью С=1 мкФ и номинальным рабочим напряжением Up=200 В.

Р е ш е н и е. Конденсаторы с номинальным рабочим напряжением 200 В нельзя включать под напряжение 600 В. Поэтому прежде всего необходимо обеспечить электрическую прочность батареи. Для этого конденсаторы надо соединить последовательно. Число последовательно соединенных конденсаторов должно быть

Емкость такой ветви

Для обеспечения емкости батареи необходимо соединить несколько параллельных ветвей. Число параллельных ветвей

Общая схема замены конденсатора

3. Индивидуальные задания для обучающихся

Задание: Определить эквивалентную емкость цепи, напряжение на каждом конденсаторе, заряд и энергию электрического поля в цепи и для каждого конденсатора.

Варианты задания, номера схемы и исходные данные для расчета приведены в таблице 1.

Таблица 1

Вариант

Рисунок схемы

С1

С2

С3

С4

мкФ

мкФ

мкФ

мкФ

В

0,1

0,15

0,3

0,2

Рисунок 1

Рисунок 2

Рисунок 3

Рисунок 4

Рисунок 5

Библиографический список

1. Синдеев с основами электроники: учебник для учащихся профессиональных училищ и колледжей. Ростов н/Д.: «Феникс», 2000.

2. Бутырин — учебник для учащихся профессиональных училищ — М.: Издательский центр «Академия», 2006

Примеры решения задач по теме «Электроёмкость. Энергия заряженного конденсатора»

«Физика — 10 класс»

«Электроёмкость» — последняя тема раздела «Электростатика». При решении задач на эту тему могут потребоваться все сведения, полученные при изучении электростатики: закон сохранения электрического заряда, понятия напряжённости поля и потенциала, сведения о поведении проводников в электростатическом поле, о напряжённости поля в диэлектриках, о законе сохранения энергии применительно к электростатическим явлениям. Основной формулой при решении задач на электроёмкость является формула (14.22).

Задача 1.

Электроёмкость конденсатора, подключённого к источнику постоянного напряжения U = 1000 В, равна C1 = 5 пФ. Расстояние между его обкладками уменьшили в n = 3 раза. Определите изменение заряда на обкладках конденсатора и энергии электрического поля.

Р е ш е н и е.

Согласно формуле (14.22) заряд конденсатора q = CU. Отсюда изменение заряда Δq — (С2 — C)U = (nC1 — C1)U = (п — 1)С1U = 10-8 Кл.

Изменение энергии электрического поля

Задача 2.

Заряд конденсатора q = 3 • 10-8 Кл. Ёмкость конденсатора С = 10 пФ. Определите скорость, которую приобретает электрон, пролетая в конденсаторе путь от одной пластины к другой. Начальная скорость электрона равна нулю. Удельный заряд электрона

Р е ш е н и е.

Начальная кинетическая энергия электрона равна нулю, а конечная равна Применим закон сохранения энергии где А — работа электрического поля конденсатора:

Следовательно,

Окончательно

Задача 3.

Четыре конденсатора ёмкостями С1 = С2 = = 1 мкФ, С3 = 3 мкФ, С4 = 2 мкФ соединены, как показано на рисунке 14.46. К точкам А и В подводится напряжение U = 140 В. Определите заряд q1 и напряжение U1, на каждом из конденсаторов.

Р е ш е н и е

Для определения заряда и напряжения прежде всего найдём ёмкость батареи конденсаторов. Эквивалентная ёмкость второго и третьего конденсаторов С2,3 = С2 + С3 а эквивалентную ёмкость всей батареи конденсаторов, представляющей собой три последовательно соединённых конденсатора ёмкостями С1, С2,3, С4, найдём из соотношения

1/Cэкв = 1 /С1 + 1/С2,3 + 1 /С4, Сэкв = (4/7) • 10-6 Ф.

Заряды на этих конденсаторах одинаковы:

q1 = q2,3 = q4 = Сэкв = 8 • 10-5 Кл.

Следовательно, заряд первого конденсатора q1 = 8 • 10-5 Кл, а разность потенциалов между его обкладками, или напряжение, U1 = q1/С1 = 80 В.

Для четвёртого конденсатора аналогично имеем q4 = 8 • 10-5 Кл, U4 = q4/C4 = 40 В.

Найдём напряжение на втором и третьем конденсаторах: U2 = U3 = q2,3/C2,3 = 20 В.

Таким образом, на втором конденсаторе заряд q2 = C2U2 = 2 • 10-5 Кл, а на третьем конденсаторе q3 = C3U3 = 6 • 10-5 Кл. Отметим, что q2,3 = q2 + g3.

Задача 4.

Определите эквивалентную электрическую ёмкость в цепи, изображённой на рисунке (14.47 а), если ёмкости конденсаторов известны.

Р е ш е н и е.

Часто при решении задач, в которых требуется определить эквивалентную электрическую ёмкость, соединение конденсаторов не очевидно. В этом случае если удаётся определить точки цепи, в которых потенциалы равны, то можно соединить эти точки или исключить конденсаторы, присоединённые к этим точкам, так как они не могут накапливать заряд (Δφ = 0) и, следовательно, не играют роли при распределении зарядов.

В приведённой на рисунке (14.47, а) схеме нет очевидного параллельного или последовательного соединения конденсаторов, так как в общем случае φA ≠ φB в и к конденсаторам С1 и С2 приложены разные напряжения. Однако заметим, что в силу симметрии и равенства ёмкостей соответствующих конденсаторов потенциалы точек А и В равны. Следовательно, можно, например, соединить точки А и В. Схема преобразуется к виду, изображённому на рисунке (14.47, б). Тогда конденсаторы С1, так же как и конденсаторы С2, будут соединены параллельно и Сэкв определим по формуле 1/Сэкв = 1/2С1 + 1/2С2, откуда

Можно также просто не учитывать присутствие в схеме конденсатора СЗ, так как заряд на нём равен нулю. Тогда схема преобразуется к виду, изображённому на рисунке (14.47, в). Конденсаторы С1 и С2 соединены последовательно, следовательно,

Эквивалентные конденсаторы с С’экв соединены параллельно, так что окончательно получим такое же выражение для эквивалентной ёмкости:

Задача 5.

Энергия плоского воздушного конденсатора W1 = 2 • 10-7 Дж. Определите энергию конденсатора после заполнения его диэлектриком с диэлектрической проницаемостью ε = 2, если:

    1) конденсатор отключён от источника питания;

    2) конденсатор подключён к источнику питания.

Р е ш е н и е.

1) Так как конденсатор отключён от источника питания, то его заряд q0 остаётся постоянным. Энергия конденсатора до заполнения его диэлектриком после заполнения где С2 = εС1.

Тогда

Источник: «Физика — 10 класс», 2014, учебник Мякишев, Буховцев, Сотский

Следующая страница «Электрический ток. Сила тока»
Назад в раздел «Физика — 10 класс, учебник Мякишев, Буховцев, Сотский»

Электростатика — Физика, учебник для 10 класса — Класс!ная физика

Что такое электродинамика — Электрический заряд и элементарные частицы. Закон сохранения заряд — Закон Кулона. Единица электрического заряда — Примеры решения задач по теме «Закон Кулона» — Близкодействие и действие на расстоянии — Электрическое поле — Напряжённость электрического поля. Силовые линии — Поле точечного заряда и заряженного шара. Принцип суперпозиции полей — Примеры решения задач по теме «Напряжённость электрического поля. Принцип суперпозиции полей» — Проводники в электростатическом поле — Диэлектрики в электростатическом поле — Потенциальная энергия заряженного тела в однородном электростатическом поле — Потенциал электростатического поля и разность потенциалов — Связь между напряжённостью электростатического поля и разностью потенциалов. Эквипотенциальные поверхности — Примеры решения задач по теме «Потенциальная энергия электростатического поля. Разность потенциалов» — Электроёмкость. Единицы электроёмкости. Конденсатор — Энергия заряженного конденсатора. Применение конденсаторов — Примеры решения задач по теме «Электроёмкость. Энергия заряженного конденсатора»

Нелинейные и параметрические элементы и цепи

Лекция № 9.

Классификация электрических цепей.

Электрической цепью называется совокупность соединенных друг с другом источников электрической энергии и нагрузок, по которой может протекать электрический ток. Электрическая цепь состоит из физических элементов, таких, как резисторы, конденсаторы, катушки индуктивности, электронные приборы (диоды, транзисторы, электронные лампы и т.д.), и соединительных проводов. Основными параметрами этих элементов являются сопротивление , (или проводимость ), индуктивность и емкость .

Если частота электрических колебаний такова, что длина волны намного больше размеров элементов цепи и длин соединительных проводников, то это цепь с сосредоточенными параметрами. В этом случае можно считать, что сопротивление, емкость, индуктивность сосредоточены в соответствующих элементах – резисторе, конденсаторе, катушке индуктивности.

Свойства элементов электрической цепи описываются внешними характеристиками, связывающими зависимость реакции от воздействия :

Так, для резистора это вольт — амперная характеристика , для конденсатора – кулон — вольтная характеристика , для индуктивности – вебер — амперная , где – напряжение на элементе; – ток, протекающий через элемент; – заряд; – магнитный поток.

Элементы цепей делятся на линейные, нелинейные и параметрические.

Линейными называются элементы, если параметры , и – постоянные величины, не зависящие ни от электрических воздействий, ни от времени. Уравнения внешних характеристик таких элементов имеют вид линейных зависимостей (прямых линий): , , .

Нелинейными называются элементы, параметры которых , и зависят от электрического воздействия (тока или напряжения) но не зависят от времени. Характеристика нелинейного элемента (НЭ) всегда отличается от прямой линии при всех значениях аргумента. Однако на некоторых участках внешняя характеристика НЭ может быть и линейной.

Параметрическими называются элементы, параметры которых зависят от времени. Различают линейно – параметрические цепи, в которых зависящие от времени параметры не зависят от электрических воздействий, и нелинейно – параметрические цепи, в которых параметры зависят как от времени, так и от электрических воздействий.

Цепи, содержащие только линейные элементы, называются линейными. Спектр реакций линейных элементов не содержит новых частот по сравнению со спектром воздействия.

Цепь, содержащая хотя бы один нелинейный элемент, называется нелинейной. Нелинейные цепи и элементы способны порождать новые частоты. Так, при нелинейной воль – амперной характеристике гармоническому току через НЭ соответствует периодическое несинусоидальное напряжение на его концах. Разлагая несинусоидальное напряжение в ряд Фурье, получаем новые частоты (гармоники основной частоты).

Цепь, в которой хотя бы один из элементов параметрический, называется параметрической (соответственно – линейно — параметрической или нелинейно — параметрической). Параметрические цепи, как и нелинейные, способны порождать новые частоты.

Системах связи с помощью линейных, нелинейных и параметрических цепей осуществляются основные полезные преобразования сообщений и сигналов. Линейные цепи – усиление (ослабление) сигналов, передача по линиям связи, фильтрация с целью выделения сигналов и подавления помех, так как при этом не требуется получения новых частот. Нелинейные и параметрические цепи – генерирование колебаний, умножение, деление и преобразование частоты, усиление сигналов с большим КПД, малошумящее усиление сигналов, модуляция и детектирование, так как для этих операций требуется изменение спектрального состава сигналов.

Нелинейные элементы и их характеристики.

Резистивные нелинейные элементы. В радиоэлектронике и технике связи нелинейные элементы – это чаще всего электронные и ионные приборы – диоды, транзисторы, лампы.

Различают неуправляемые и управляемые резисторы. Первые из них представляют собой двухполюсники: это диоды, газоразрядные лампы, варисторы, терморезисторы. Вольт – амперные характеристики (ВАХ) можно рассматривать как математическую модель таких резисторов.

или ,

где параметры и зависят от приложенных или .

Управляемые резисторы – это многополюсники, в простейшем случае — четырехполюсники, выходной ток которых является функцией многих напряжений. К ним относятся: транзисторы, электронные лампы, тиристоры, тиратроны, тинисторы и др. Но и их можно описывать ВАХ, считая, что выходная цепь представлена источником тока, управляемым выходным напряжением (или наоборот).

Реактивные нелинейные элементы. К реактивным элементам относятся нелинейная индуктивность и нелинейная емкость. Свойства нелинейных реактивных элементов определяются по их характеристикам, снимаемым обычно экспериментально.

Катушки индуктивности являются одними из основных деталей электронной аппаратуры. Они входят в резонансные контуры, фильтры, трансформаторы и т.д. Применение в катушках магнитных (ферритовых) сердечников улучшает параметры катушек, сокращает их габариты, расширяет область их использования. Но с ферритовыми сердечниками катушки становятся нелинейными индуктивностями, то есть их индуктивность зависит от протекающего тока. Внешней характеристикой катушек индуктивности является вебер – амперная характеристика

выражающая зависимость между током протекающим через катушку индуктивности и ее магнитным потоком .

Одним из основных методов осуществления нелинейных емкостей является создание конденсаторов с диэлектриками, обладающими нелинейными свойствами. На низких частотах как нелинейные емкости используются сегнетокерамические конденсаторы, называемые варикондами. На высоких частотах в качестве нелинейных емкостей используют барьерные емкости переходов полупроводниковых диодов. Их называют варикапами. Нелинейные емкости СВЧ диапазона называются варакторами.

Действие конденсаторов в электрических схемах отображается с помощью нелинейных кулон – вольтных характеристик

,

выражающих зависимость заряда на конденсаторе от приложенного напряжения . В нелинейных конденсаторах емкость зависит от приложенного напряжения.

Параметрические элементы. Параметрические сопротивление, индуктивности, емкости характеризуются изменением своих параметров , и во времени. Изменение параметров элементов можно производить различными способами. Простейший из них – механическое изменение значений , и . Например, вращая ротор конденсатора переменной емкости, изменяем площадь пластин и соответственно емкость. Но в параметрических элементах, применяемых в системах связи, частота изменения параметров, как правило, должна быть очень велика, вследствие чего приходится применять элементы с малой инерционностью. При этом управление производится электрическим способом с помощью управляющего сигнала. Осуществляется это следующим образом. Выбирают безинерционный нелинейный элемент с требуемыми пределами изменения параметров (, или ), и на него подают управляющий сигнал соответствующего уровня и формы. Для этого, например, изготовляют специальные резисторы – варисторы.

Расчет электрической цепи постоянного тока с конденсаторами

Главная → Примеры решения задач ТОЭ → Расчет электрической цепи постоянного тока с конденсаторами Расчет электрической цепи постоянного тока с конденсаторами

Основные положения и соотношения

1. Общее выражение емкости конденсатора

C= Q U .

2. Емкость плоского конденсатора

C= ε a ⋅S d = ε r ⋅ ε 0 ⋅S d ,

здесь

S – поверхность каждой пластины конденсатора;

d – расстояние между ними;

εa = εr·ε0 – абсолютная диэлектрическая проницаемость среды;

εr – диэлектрическая проницаемость среды (относительная диэлектрическая проницаемость);

ε 0 = 1 4π⋅ с 2 ⋅ 10 −7 ≈8,85418782⋅ 10 −12    Ф м – электрическая постоянная.

3. При параллельном соединении конденсаторов С1, С2, …, Сn эквивалентная емкость равна

C= C 1 + C 2 +…+ C n = ∑ k=1 n C k .

4. При последовательном соединении конденсаторов эквивалентная емкость определяется из формулы

1 C = 1 C 1 + 1 C 2 +…+ 1 C n = ∑ k=1 n 1 C k .

Для двух последовательно соединенных конденсаторов эквивалентная емкость составляет:

C= C 1 ⋅ C 2 C 1 + C 2 ,

а напряжения между отдельными конденсаторами распределяются обратно пропорционально их емкостям:

U 1 =U⋅ C 2 C 1 + C 2 ;    U 2 =U⋅ C 1 C 1 + C 2 .

5. Преобразование звезды емкостей в эквивалентный треугольник емкостей или обратно (рис. а и б)

Рис. 0

осуществляется по формулам:

6. Энергия электростатического поля конденсатора:

W= C⋅ U 2 2 = Q⋅U 2 = Q 2 2C .

7. Расчет распределения зарядов в сложных цепях, содержащих источники э.д.с. и конденсаторы, производится путем составления уравнений по двум законам:

1) По закону сохранения электричества (закон сохранения электрического заряда): алгебраическая сумма зарядов на обкладках конденсаторов, соединенных в узел и не подключенных к источнику энергии, равна алгебраической сумме зарядов, имевшихся на этих обкладках до их соединения:

ΣQ=Σ Q ′ .

2) По второму закону Кирхгофа: алгебраическая сумма э. д. с. в замкнутом контуре равна алгебраической сумме напряжений на участках контура, в том числе на входящих в него конденсаторах:

∑ k=1 n E k = ∑ k=1 n U C k = ∑ k=1 n Q k C k .

Приступая к решению задачи, надо задаться полярностью зарядов на обкладках конденсаторов.

Решение задач на расчет электрической цепи постоянного тока с конденсаторами

Задача. Доказать формулу эквивалентной емкости при последовательном соединении конденсаторов (рис. 1).

Рис. 1

Решение

На рис. 1 представлено последовательное соединение трех конденсаторов. Если батарею конденсаторов подключить к источнику напряжения U12, то на левую пластину конденсатора С1 перейдет заряд +q, на правую пластину конденсатора С3 заряд –q.

Вследствие электризации через влияние правая пластина конденсатора С1 будет иметь заряд –q, а так как пластины конденсаторов С1 и С2 соединены и были электронейтральны, то вследствие закона сохранения заряда заряд левой пластины конденсатора C2 будет равен +q, и т. д. На всех пластинах конденсаторов при таком соединении будет одинаковый по величине заряд.

Найти эквивалентную емкость – это значит найти конденсатор такой емкости, который при той же разности потенциалов будет накапливать тот же заряд q, что и батарея конденсаторов.

Разность потенциалов U12 = φ1 – φ2 складывается из суммы разностей потенциалов между пластинами каждого из конденсаторов

U 12 = φ 1 − φ 2 =( φ 1 − φ A )+( φ A − φ B )+( φ B − φ 2 )= U 1A + U AB + U B2 .

Воспользовавшись формулой напряжения на конденсаторе

U= q C ,

запишем

q C = q C 1 + q C 2 + q C 3 .

Откуда эквивалентная емкость батареи из трех последовательно включенных конденсаторов

1 C = 1 C 1 + 1 C 2 + 1 C 3 .

В общем случае эквивалентная емкость при последовательном соединении конденсаторов

1 C = 1 C 1 + 1 C 2 +…+ 1 C n = ∑ k=1 n 1 C k .

Задача 1. Определить заряд и энергию каждого конденсатора на рис. 2, если система подключена в сеть с напряжением U = 240 В.

Рис. 2

Емкости конденсаторов: C1 =50 мкФ; C2 =150 мкФ; C3 =300 мкФ.

Решение

Эквивалентная емкость конденсаторов C1 и C2, соединенных параллельно

C12 = C1 + C2 = 200 мкФ,

эквивалентная емкость всей цепи равна

C= C 12 ⋅ C 3 C 12 + C 3 = 200⋅300 500 =120  мкФ.

Заряд на эквивалентной емкости

Q = C·U = 120·10–6·240 = 288·10–4 Кл.

Той же величине равен заряд Q3 на конденсаторе C3, т.е. Q3 = Q = 288·10–4 Кл; напряжение на этом конденсаторе

U 3 = Q 3 C 3 = 288⋅ 10 −4 300⋅ 10 −6 =96  В.

Напряжение на конденсаторах C1 и C2 равно

U1 = U2 = U – U3 = 240 – 96 = 144 В.

их заряды имеют следующие значения

Q1 = C1·U1 = 50·10–6·144 = 72·10–4 Кл;

Q2 = C2·U2 = 150·10–6·144 = 216·10–4 Кл.

Энергии электростатического поля конденсаторов равны

W 1 = Q 1 ⋅ U 1 2 = 72⋅ 10 −4 ⋅144 2 ≈0,52  Дж; W 2 = Q 2 ⋅ U 2 2 = 216⋅ 10 −4 ⋅144 2 ≈1,56  Дж; W 3 = Q 3 ⋅ U 3 2 = 288⋅ 10 −4 ⋅96 2 ≈1,38  Дж.

Задача 2. Плоский слоистый конденсатор (рис. 3), поверхность каждой пластины которого S = 12 см2, имеет диэлектрик, состоящий из слюды (εr1 = 6) толщиною d1 = 0,3 мм и стекла (εr2 = 7) толщиною d2 =0,4 мм.

Пробивные напряженности слюды и стекла соответственно равны E1 = 77 кВ/мм, E2 = 36 кВ/мм.

Рис. 3

Вычислить емкость конденсатора и предельное напряжение, на которое его можно включать, принимая для более слабого слоя двойной запас электрической прочности.

Решение

Эквивалентная емкость слоистого конденсатора определится как емкость двух последовательно соединенных конденсаторов

C= C 1 ⋅ C 2 C 1 + C 2 = ε a1 ⋅S d 1 ⋅ ε a2 ⋅S d 2 ε a1 ⋅S d 1 + ε a2 ⋅S d 2 = ε a1 ⋅ ε a2 ⋅S ε a1 ⋅ d 2 + ε a2 ⋅ d 1 .

Подставляя сюда числовые значения, предварительно заменив εa1 = εr1·ε0 и εa2 = εr2·ε0, получим

C= ε 0 ⋅ ε r1 ⋅ ε r2 ⋅S ε r1 ⋅ d 2 + ε r2 ⋅ d 1 =8,85⋅ 10 −12 ⋅ 6⋅7⋅12⋅ 10 −4 6⋅0,4⋅ 10 −3 +7⋅0,3⋅ 10 −3 =99⋅ 10 −12   Ф.

Обозначим общее напряжение, подключаемое к слоистому конденсатору, через Uпр, при этом заряд конденсатора будет равен

Q = C·Uпр.

Напряжения на каждом слое будут равны

U 1 = Q C 1 = C⋅ U пр ε a1 ⋅S d 1 = ε a2 ⋅ d 1 ε a1 ⋅ d 2 + ε a2 ⋅ d 1 ⋅ U пр ; U 2 = Q C 2 = C⋅ U пр ε a2 ⋅S d 2 = ε a1 ⋅ d 2 ε a1 ⋅ d 2 + ε a2 ⋅ d 1 ⋅ U пр .

Напряженности электростатического поля в каждом слое

E 1 = U 1 d 1 = ε a2 ε a1 ⋅ d 2 + ε a2 ⋅ d 1 ⋅ U ′ пр ; E 2 = U 2 d 2 = ε a1 ε a1 ⋅ d 2 + ε a2 ⋅ d 1 ⋅ U ″ пр .

Здесь U’np – общее напряжение, подключаемое к конденсатору, при котором пробивается первый слой, a U»np – общее напряжение, при котором происходит пробой второго слоя.

Из последнего выражения находим

U ′ пр = E 1 ⋅ ε a1 ⋅ d 2 + ε a2 ⋅ d 1 ε a2 =49,5  кВ; U ″ пр = E 2 ⋅ ε a1 ⋅ d 2 + ε a2 ⋅ d 1 ε a1 =27,0  кВ.

Таким образом, более слабым слоем является второй; согласно условию, принимая для него двойной запас прочности, находим, что конденсатор может быть включен на напряжение, равное

27,0 кВ / 2 = 13,5 кВ.

Задача 3. Обкладки плоского конденсатора с воздушным диэлектриком расположены на расстоянии d1 = 1 см друг от друга. Площадь обкладок S = 50 см2. Конденсатор заряжается до напряжения U = 120 В и затем отсоединяется от источника электрической энергии.

Определить, какую надо совершить работу, если увеличить расстояние между пластинами до d2 = 10 см. Краевым эффектом можно пренебречь; другими словами, емкость конденсатора можно считать обратно пропорциональной расстоянию между обкладками.

Решение

Энергия заряженного плоского конденсатора равна

W 1 = C 1 ⋅ U 2 2 = ε 0 ⋅S d 1 ⋅ U 2 2 ,

где С1 – емкость до раздвижения обкладок.

Так как конденсатор отключен от источника, то при изменении расстояния между обкладками его заряд остается постоянным. Поэтому из~ соотношения

Q = C2·U2,

где C2 – емкость конденсатора после раздвижения обкладок, следует, что, так как C2 = ε0·S/d2 стало меньше в 10 раз (d2 увеличилось в 10 раз), то напряжение на конденсаторе U2 увеличилось в 10 раз, т. е. U2 = 10U.

Таким образом, энергия конденсатора после отключения и раздвижения обкладок на расстояние d2 будет больше первоначальной

W 2 = ε 0 ⋅S d 2 ⋅ U 2 2 2 = ε 0 ⋅S 10 d 1 ⋅ ( 10U ) 2 2 =10⋅ ε 0 ⋅S d 1 ⋅ U 2 2 =10⋅ W 1 .

Увеличение энергии произошло за счет работы внешних сил, затраченной на раздвижение обкладок.

Таким образом, надо совершить работу, равную

W 2 − W 1 =9⋅ W 1 =9⋅ ε 0 ⋅S d 1 ⋅ U 2 2 =2,86⋅ 10 −7   Дж.

Задача 4. Для схемы (рис. 4) определить напряжение каждого конденсатора в двух случаях: при замкнутом и разомкнутом ключе К.

Даны: C1 = 30 мкФ; C2 = 20 мкФ; r1 = 100 Ом. r2 = 400 Ом. r3 = 600 Ом, U = 20 В.

Решение

Ключ К разомкнут. Конденсаторы соединены между собой последовательно; их ветвь находится под полным напряжением источника; напряжение распределяется между ними обратно пропорционально емкостям

U 1 = C 2 C 1 + C 2 ⋅U= 20⋅ 10 −6 30⋅ 10 −6 +20⋅ 10 −6 ⋅20=8  В; U 2 =U− U 1 =20−8=12  В.

Рис. 4

Ключ К замкнут. Через сопротивления r1 и r2 протекает ток

I= U r 1 + r 2 = 20 500 =0,04  А,

а через сопротивление r3 ток не протекает.

Поэтому точки c и d равнопотенциальны (φc = φd). Следовательно, напряжение между точками a и c (Uac = φa – φc) равно напряжению между точками a и d (Uad = φa – φd).

Таким образом, напряжение на первом конденсаторе равно падению напряжения на сопротивлении r1

UC1 = I·r1 = 0,04·100 = 4 В.

Аналогично напряжение на втором конденсаторе равно

UC2 = I·r2 = 0,04·400 = 16 В.

Задача 5. Определить напряжение на зажимах конденсаторов и их энергию после перевода рубильника из положения 1 в положение 2, показанное пунктиром на рис. 5, если U = 25 В; C1 = 5 мкФ; C2 = 120 мкФ. Конденсатор C2 предварительно не был заряжен.

Рис. 5

Решение

Когда рубильник находится в положении 1, то конденсатор C1 заряжен до напряжения U и его заряд равен

Q = C1·U = 5·10–6·25 = 125·10–6 Кл.

После перевода рубильника в положение 2, заряд Q распределяется между конденсаторами C1 и C2 (рис. 5). Обозначим эти заряды через Q’1 и Q’2.

На основании закона сохранения электричества имеем

Q = Q’1 + Q’2 = 125 10–6 Кл. (1)

По второму закону Кирхгофа имеем

0= U C1 − U C2 = Q ′ 1 C 1 − Q ′ 2 C 2 ,

или

Q ′ 1 5⋅ 10 −6 − Q ′ 2 120⋅ 10 −6 =0.   (2)

Решая уравнения (1) и (2), найдем

Q’1 = 5 10–6 Кл; Q’2 = 120 10–6 Кл.

Напряжение на зажимах конденсаторов станет равным

U C1 = Q ′ 1 C 1 = U C2 = Q ′ 2 C 2 = 5⋅ 10 −6 5⋅ 10 −6 =1  В.

Энергия обоих конденсаторов будет равна

W= C 1 ⋅ U C1 2 2 + C 2 ⋅ U C2 2 2 =62,5⋅ 10 −6   Дж.

Подсчитаем энергию, которая была запасена в конденсаторе С1, при его подключении к источнику электрической энергии

W нач = C 1 ⋅U 2 = 5⋅ 10 −6 ⋅ 25 2 2 =1562,5⋅ 10 −6   Дж.

Как видим, имеет место большая разница в запасе энергии до и после переключения. Энергия, равная 1562,5·10–6 – 62,5·10–6 = 1500·10–6 Дж, израсходовалась на искру при переключении рубильника из положения 1 в положение 2 и на нагревание соединительных проводов при перетекании зарядов из конденсатора C1 в конденсатор C2 после перевода рубильника в положение 2.

Задача 6. Вычислить напряжение, которое окажется на каждом из конденсаторов схемы (рис. 6) после перевода рубильника К из положения 1 в положение 2.

Емкости конденсаторов равны: C1 = 10 мкФ; C2 = 30 мкФ; C3 = 60 мкФ; напряжение U = 30 В, а э. д. с. E = 50 В.

Рис. 6

Решение

Рубильник находится в положении 1. Заряд конденсатора C1 равен

Q1 = C1·U = 10·10–6·30 = 0,3·10–3 Кл.

В указанном положении рубильника конденсаторы C2 и C3 соединены последовательно друг с другом, поэтому их заряды равны: Q2 = Q3. Знаки зарядов показаны на рис. 6 отметками без кружков. По второму закону Кирхгофа имеем

E= U C2 + U C3 = Q 2 C 2 + Q 3 C 3 = Q 2 ⋅ C 2 + C 3 C 2 ⋅ C 3 ,

откуда

Q 2 = Q 3 = C 2 ⋅ C 3 C 2 + C 3 ⋅E= 30⋅ 10 −6 ⋅60⋅ 10 −6 90⋅ 10 −6 ⋅50=1⋅ 10 −3   Кл.

При переводе рубильника в положение 2 произойдет перераспределение зарядов. Произвольно задаемся новой полярностью зарядов на электродах (показана в кружках; предположена совпадающей с ранее имевшей место полярностью); соответствующие положительные направления напряжений на конденсаторах обозначены стрелками. Обозначим эти заряды через Q’1, Q’2 и Q’3. Для их определения составим уравнения на основании закона сохранения электрических зарядов и второго закона Кирхгофа.

Для узла a

Q’1 + Q’2 – Q’3 = Q1 + Q2 – Q3. (1)

Для контура 2ebda2

0= U ′ C1 − U ′ C2 = Q ′ 1 C 1 − Q ′ 2 C 1 .

Для контура bcadb

E= U ′ C2 − U ′ C3 = Q ′ 2 C 2 + Q ′ 3 C 3 .

Уравнения (1) – (3), после подстановки числовых значений величин, примут вид

Q’1 + Q’2 – Q’3 = 0,3·10–3; (4)

3Q’1 – Q’2 = 0; (5)

2Q’2 + Q’3 = 3·10–3. (6)

Решая совместно уравнения (4) – (6), получим

Q’1 = 0,33·10–3 Кл; Q’2 = 0,99·10–3 Кл; Q’3 = 1,02·10–3 Кл.

Так как знаки всех зарядов оказались положительными, то фактическая полярность обкладок соответствует предварительно выбранной.

Напряжения на конденсаторах после перевода рубильника будут равны

U C1 = Q ′ 1 C 1 = 0,33⋅ 10 −3 10⋅ 10 6 =33  В; U C2 = Q ′ 2 C 2 = 0,99⋅ 10 −3 30⋅ 10 6 =33  В; U C3 = Q ′ 3 C 3 = 1,02⋅ 10 −3 60⋅ 10 6 =17  В.

Задача 7. Определить заряд и напряжение конденсаторов, соединенных по схеме рис. 7, если C1 = 5 мкФ; C2 = 4 мкФ; C3 = 3 мкФ; э. д. с. источников E1 = 20 В и E2 = 5 В.

Рис. 7

Решение

Составим систему уравнений на основании закона сохранения электричества и второго закона Кирхгофа, предварительно задавшись полярностью обкладок конденсаторов, показанной в кружках

− Q 1 + Q 2 − Q 3 =0; E 1 = U C1 − U C3 = Q 1 C 1 − Q 3 C 3 ; E 2 =− U C2 − U C3 =− Q 2 C 2 − Q 3 C 3 .

Подставляя сюда числовые значения и решая эту систему уравнений, получим, что Q1 = 50 мкКл; Q2 = 20 мкКл; Q3 = –30 мкКл.

Таким образом, истинная полярность зарядов на обкладках конденсаторов C1 и C2 соответствует выбранной, а у конденсатора C3 – противоположна выбранной.

Задача 8. Пять конденсаторов соединены по схеме рис. 3-22, а, емкости которых C1 = 2 мкФ; C2 = 3 мкФ; C3 = 5 мкФ; C4 = 1 мкФ; C5 = 2,4 мкФ.

Рис. 8

Определить эквивалентную емкость системы и напряжение на каждом из конденсаторов, если приложенное напряжение U = 10 В.

Решение

1-й способ. Звезду емкостей C1, C2 и C3 (рис. 8, а) преобразуем в эквивалентный треугольник емкостей (рис. 8, б)

C 12 = C 1 ⋅ C 2 C 1 + C 2 + C 3 =0,6  мкФ; C 13 = C 1 ⋅ C 3 C 1 + C 2 + C 3 =1,0  мкФ; C 23 = C 2 ⋅ C 3 C 1 + C 2 + C 3 =1,5  мкФ.

Емкости C12 и C5 оказываются соединенными параллельно друг другу и подключенными к точкам 1 и 2; их эквивалентная емкость

C6 = C12 + C5 = 3 мкФ.

Аналогично

C7 = C13 + C4 = 2 мкФ.

Схема принимает вид изображенный на рис. 8, в. Емкость схемы между точками а и b равняется

C ab = C 23 + C 6 ⋅ C 7 C 6 + C 7 =2,7  мкФ.

Вычислим напряжение на каждом из конденсаторов.

На конденсаторе C7 напряжение равно

U 7 = C 6 C 6 + C 7 ⋅U=6  В.

Таково же напряжение и на конденсаторах C4 и C13

U4 = U31 = 6 В.

Напряжение на конденсаторе C6 равно

U6 = U – U7 = 4 В;

U5 = U12 = 4 В.

Вычислим заряды

Q4 = C4·U4 = 6·10–6 Кл;

Q5 = C5·U5 = 9,6·10–6 Кл;

Q12 = C12·U12 = 6·10–6 Кл;

Q13 = C13·U31 = 2,4·10–6 Кл.

По закону сохранения электричества для узла 1 схем 8, а и б имеем

–Q4 – Q1 + Q5 = –Q4 – Q13 + Q12 + Q5,

отсюда

Q1 = Q13 – Q12 = 3,6·10–6 Кл,

а напряжение на конденсаторе, емкостью C1 составляет

U 1 = Q 1 C 1 =1,8  В.

Далее находим напряжения и заряды на остальных конденсаторах

U31 = U1 + U3,

отсюда

U3 = U31 – U1 = 4,2 В;

Q3 = C3·U3 = 21·10–6 Кл,

также

U12 = U2 – U1 = 4,2 В,

откуда

U2 = U12 + U1 = 5,8 В;

Q2 = C2·U2 = 17,4·10–6 Кл.

Так как знаки всех зарядов оказались положительными, то фактическая полярность зарядов на обкладках совпадает с предварительно выбранной.

2-й способ. Выбрав положительные направления напряжений на конденсаторах (а тем самым и знаки зарядов на каждом из них) по формуле закона сохранения электричества (закона сохранения заряда) составляем два уравнения и по второму закону Кирхгофа три уравнения (рис. 8, а)

для узла 1

Q5 – Q1 – Q4 = 0; (1)

для узла О

Q1 + Q2 – Q3 = 0; (2)

для контура О13О

Q 1 C 1 − Q 4 C 4 + Q 3 C 3 =0;  (3)

для контура О12О

Q 1 C 1 + Q 5 C 5 − Q 2 C 2 =0;  (4)

для контура a3О2b

Q 3 C 3 + Q 2 C 2 =U.  (5)

Система уравнений (1) – (5) – содержит пять неизвестных: Q1, Q2, Q3, Q4 и Q5. Решив уравнения, найдем искомые заряды, а затем и напряжения на конденсаторах. При втором способе решения эквивалентную емкость схемы Сab можно найти из отношения

C ab = Q U ,

где Q = Q3 + Q4, или Q = Q2 + Q5.

Задача 9. В схеме рис. 9 найти распределение зарядов, если E1 = 20 В; E2 = 7 В; C1 = 7 мкФ; C2 = 1 мкФ; C3 = 3 мкФ; C4 = 4 мкФ; C5 = C6 = 5 мкФ.

Рис. 9

Решение

При выбранном распределении зарядов (в кружках), как показано на схеме, система уравнений будет иметь вид:

для узла а

Q1 + Q2 + Q3 = 0;

для узла b

–Q3 – Q4 – Q5 = 0;

для узла c

–Q1 + Q4 + Q6 = 0;

для контура afcba

E 1 = U C1 + U C4 − U C3 = Q 1 C 1 + Q 4 C 4 − Q 3 C 3 ;

ля контура gdbag

E 2 = U C5 − U C3 + U C2 = Q 5 C 5 − Q 3 C 3 + Q 2 C 2 ;

для контура cbdc

0= U C4 − U C5 − U C6 = Q 4 C 4 − Q 5 C 5 − Q 6 C 6 .

Подставляя сюда числовые значения и решая полученную систему шести уравнений, найдем искомые заряды

Q1 = 35 мкКл; Q2 = –5 мкКл; Q3 = –30 мкКл;

Q4 = 20 мкКл; Q5 = 10 мкКл; Q6 = 15 мкКл.

Таким образом, истинные знаки зарядов Q1, Q4, Q5 и Q6 соответствуют выбранным, а знаки Q2 и Q3 противоположны выбранным.

Фактическое расположение знаков зарядов на конденсаторах дано не в кружках.

Задача 10. Определить заряд и энергию каждого конденсатора в схеме (рис. 10). Данные схемы: C1 = 6 мкФ; C2 = 2 мкФ; C3 = 3 мкФ; r1 = 500 Ом; r2 = 400 Ом; U = 45 В.

Рис. 10

Решение

Через сопротивления протекает ток

I= U r 1 + r 2 =0,05  А.

Задавшись полярностью зарядов на обкладках конденсаторов, составим систему уравнений:

− Q 1 + Q 2 + Q 3 =0; U= U C1 + U C2 = Q 1 C 1 + Q 2 C 2 ; I⋅ r 1 = U C1 + U C3 = Q 1 C 1 + Q 3 C 3 ,

или

Q 1 = Q 2 + Q 3 ; 45= Q 1 6⋅ 10 −6 + Q 2 2⋅ 10 −6 ; 25= Q 1 6⋅ 10 −6 + Q 3 3⋅ 10 −6 .

Решив эту систему уравнений, найдем, что

Q1 = 90 мкКл; Q2 = 60 мкКл; Q3 = 30 мкКл.

Цепи с конденсаторами, Конденсатор в цепи постоянного тока, Расчет цепи конденсаторов, параллельное соединение конденсаторов, последовательное соединение конденсаторов

13.08.2012, 160837 просмотров.

Решение ТОЭ. Сайт для деловых людей. Молодцы!Решение ТОЭ четко, коротко и ясно. Даже получаешь удовольствие! Альфред · 21.09.2016 21:20:16 · ответить · Закон сохранения заряда Вопрос
Объясните пожалуйста почему в Задаче 6 до и после перевода К из положения 1 в положение 2 в точке «а» не изменяется сумма зарядов. (Уравнение 1). Не должны ли поглощаться (добавляться) заряды источником -E после переключения?
Не нашёл похожих задач с объяснениями пересмотрев учебники. В «Физика в задачах: экзаменационные задачи с решениями» 1990, Меледин, есть задача 3.56 немного схожая, но решение не дано подробно и возникает тот же вопрос. Какие физ. основы для сохранения заряда в цепях с источниками?
Ответ
алгебраическая сумма зарядов на обкладках конденсаторов, соединенных в узел и не подключенных к источнику энергии, равна алгебраической сумме зарядов, имевшихся на этих обкладках до их соединения Василий · 23.02.2015 15:09:33 · ответить · Закон сохранения заряда. Как применить в цепях с источниками?Объясните пожалуйста почему в Задаче 6 до и после перевода К из положения 1 в положение 2 в точке «а» не изменяется сумма зарядов. (Уравнение 1). Не должны ли поглощаються (добавляться) заряды источником -E после переключения?
Не нашёл похожих задач с объяснениями пересмотрев учебники. В «Физика в задачах: экзаменационные задачи с решениями» 1990, Меледин, есть задача 3.56 немного схожая, но решение не дано подробно и воникает тот же вопрос. Какие физ. основы для сохранения заряда в цепях с истониками?
Ответ.
алгебраическая сумма зарядов на обкладках конденсаторов, соединенных в узел и не подключенных к источнику энергии, равна алгебраической сумме зарядов, имевшихся на этих обкладках до их соединения kontactor · 23.02.2015 09:44:19 · ответить · Закон сохранения заряда. Не понимаю я ответ к Задаче 6. Ответ относится к кондесаторам соединённым в узел и НЕ подключенным к источникам. В задаче 6 источник как раз есть (E).
На каком основании мы можем игнорировать наличие источника E?
Почему-то я так и знал что или не ответите или ответ будет невпопад.
В десятках просмотренных книг по физике и электротехнике тоже ответов нет! Есть лишь две похожие задачи с похожим ходом решения без объяснения. Что оставляет оригинальный вопрос неотвеченным.
Я попробую переформулировать вопрос, но пожалуйста ответьте и на старый вопрос тоже.
Вопрос переформулированный: Может ли исочник E сделать так что сумма положительных зарядов на верхних пластинах C1, C2, примыкающих к узлу «а» не будет равняться отрицательному заряду на верхней пластине С3?
В решении задачи Q1+Q2 не равны негативному Q3.
Во всех известных учебниках дают понять что сумма позитивных и негативных зарядов изолированного проводника в электрическом поле равна нулю.
Можно ли рассматривать три верхних пластины соединённых в точке «а» как изолированный проводник? Если нет, то почему? Какова роль источника E в смысле изолированности данных пластин?
Кроме того, во всех учебниках при вычислении ёмкости последовательного соединения конденсаторов доказывают что их внутренние пластины имеют равные и противоположные заряды. А в задаче 6, после решения уравнений 4-6, они как раз не равны! Ни в одном учебнике нет хорошо объяснённого примера с подключенным (подобно задаче 6) источником.
Может ли кто-нибудь из уважаемых физиков расписать эту проблему подробно, без подразумевания что промежуточные этапы всем известны? kontactor · 31.07.2015 17:58:01 · ответить · Отличный сайтОтличный сайт. Нашёл то что искал. Админу огромное спасибо!. Буду ещё сюда заглядывать…. И советовать друзьям!!!. · 09.06.2014 14:25:55 · ответить ·

Позойский С.В., Жидкевич В.И. Избранные задачи по теме «Конденсаторные цепи»

Исправления Сакович А.Л. (ноябрь 2006)

В статье разобраны примеры задач повышенного и углубленного уровня на расчет электрических цепей постоянного тока с конденсаторами. Приводится краткий теоретический материал по данной теме.

Расчет электрических цепей, в которых конденсаторы соединены последовательно или параллельно, производится по известным формулам.

Если в цепи нет участков с последовательно или параллельно соединенными конденсаторами, но есть точки с одинаковыми потенциалами, то их можно либо соединять, либо разъединять, не меняя режима работы цепи. Цепь при этом упрощается, и мы приходим к случаю параллельно и последовательно соединенных конденсаторов.

Если в цепи нет параллельно и последовательно соединенных конденсаторов и нет точек с одинаковыми потенциалами, то для ее расчета используются следующие положения.

1. Сумма зарядов всех обкладок, соединенных с одним из полюсов источника тока, равна заряду источника (закон сохранения заряда):

(1)

Например, для цепи, изображенной на рисунке 1, .

Рис. 1.

2. Если пластины нескольких конденсаторов соединены в один узел, не связанный непосредственно с источником тока, то алгебраическая сумма зарядов на этих пластинах равна нулю (закон сохранения заряда):

(2)

Например, для цепи, представленной на рисунке 2, .

Рис. 2.

Рис. 3.

Это соотношение справедливо и тогда, когда перед конденсаторами имеются источники ЭДС (рис. 3): .

3. Алгебраическая сумма разностей потенциалов на всех конденсаторах и источниках тока, встречающихся при обходе любого замкнутого контура, равна нулю (закон сохранения энергии):

(3)

4. Если на каком-либо из участков цепи 1–2 (рис. 4) имеется конденсатор и источник ЭДС, т.е. участок цепи неоднородный, то заряд конденсатора определяется ЭДС источника и разностью потенциалов на концах участка :

(4)

Если источника ЭДС на участке нет , то

(5)

Рис. 4.

Этот факт обусловливает необходимость учитывать выбор знаков в каждом конкретном случае:

а) Если , т.е. разность потенциалов направлена в ту же сторону, что и ЭДС (см. рис. 4), то следует пользоваться формулой (4).

б) Если , то формулу (4) лучше записать в таком виде:

(6)

где .

В этом случае разность потенциалов «противодействует» ЭДС. Если же при этом , то для определения заряда формулу (4) следует записать в таком виде:

(7)

Правило для определения знаков зарядов на обкладках конденсатора: поле между обкладками конденсатора направлено в ту сторону, в которую направлена сумма ЭДС и разности потенциалов .

В приведенном примере (см. рис. 4) при и поле конденсатора направлено влево (левая обкладка заряжена отрицательно, правая – положительно);

Если , то поле между обкладками конденсатора направлено в сторону меньшего потенциала, т.е. со стороны меньшего потенциала будет обкладка с отрицательным зарядом.

в) В случае, когда величина потенциалов j1 и j2 неизвестна, следует пользоваться одним из рассмотренных вариантов по своему усмотрению.

Если несколько источников ЭДС и конденсаторов соединены последовательно, то заряд конденсатора определяется из соотношения

(8)

где – алгебраическая сумма ЭДС, С – общая емкость конденсаторов.

(9)

Правила знаков те же, что и приведенные ранее.

Задача 1. Конденсаторы соединены так, как показано на рисунке 5. Чему равна емкость всей батареи, если емкость каждого конденсатора равна С?

Рис. 5.

Решение. Упростим последовательно цепь (рис. 6).

а б

в г

Рис. 6.

Задача 2. Из проволоки сделан куб, в каждое ребро которого включено по одному конденсатору емкостью С. Найдите емкость батареи (рис. 7).

Рис. 7.

Решение. Соединяем точки с одинаковыми потенциалами 1, 2, 3 и 4, 5, 6 . Получим (рис. 8):

а

б

Рис. 8.

Предлагаем читателю самостоятельно рассмотреть случаи, когда цепь присоединена к источнику тока точками а3 и а6.

Задача 3. В цепи, изображенной на рисунке 9, С1 = С3 = С; С2 = С4 = С5 = 2С. Найдите емкость батареи конденсаторов.

Рис. 9.

Решение. а) Из условия следует, что , поэтому конденсатор С5 можно «выбросить» (рис. 10, а). Получим:

а

б

Рис. 10.

б) Но точки с одинаковыми потенциалами можно также соединить (рис. 11):

а

б

Рис. 11.

Задача 4. Определите заряд батареи конденсаторов, изображенной на рисунке 12, если к клеммам АВ приложено напряжение U= 100 B, а емкости конденсаторов C1 = 2 мкФ, С2 = 1 мкФ.

Рис. 12.

Решение. Заменим эту схему эквивалентной (рис. 13, а):

а

б

Рис. 13.

Мы видим, что эта задача аналогична задаче 3. И в этой цепи и конденсатор С2 можно «выбросить». Тогда получим цепь (рис. 13, б). Общая емкость этой батареи .

Находим заряд батареи: , q = 2∙10–4 Кл.

Точки 2, 3 можно было и соединить, как в задаче 3. Получили бы тот же результат.

Задача 5. Найдите емкость батареи одинаковых конденсаторов (рис. 14). Емкость отдельного конденсатора С считать известной.

Рис. 14.

Решение. Общая емкость батареи

(1)

где q – заряд батареи, U – напряжение на ней.

Запишем уравнения для контуров и узлов. Контуры обходим против часовой стрелки. Если при этом мы идем от «–» к «+» на обкладках конденсатора, то соответствующая разность потенциалов берется со знаком «+», если от «+» к «–», то со знаком «–». Выбор направления обхода контура условен: его можно обходить и по часовой стрелке.

Контур 217832:

(2)

Контур 87658:

(3)

Контур 38543:

(4)

Для узла 8:

(5)

Для узла 3:

(6)

(7)

(8)

(9)

Решая эту систему уравнений, получим

Следовательно, .

Эту же задачу можно решить иначе.

Пусть .

Потенциалы точек 8 и 3 – .

Для определенности будем считать, что . Тогда

Кроме того, так как , то

(10)

(11)

Из этой системы получим

Заряд батареи

Задача 6. Батарея конденсаторов заряжена до разности потенциалов U0 = 200 В, после чего ее отключили от источника напряжения (рис. 15). Как изменится при этом энергия батареи при замыкании ключа К, если С1 = С2 = С3 = С5 = 1 мкФ; С4 = 0,5 мкФ?

Рис. 15.

Решение. При отключении батареи от источника тока ее заряд не изменится независимо от положения ключа К, а емкость ее после замыкания ключа изменится. Пусть С0, С – емкости батареи до замыкания и после замыкания соответственно, W0, W – соответствующие энергии, q0 = q – заряд батареи.

(1)

где q0 = C0∙U0; q = C∙U; U– напряжение на батарее конденсаторов после замыкания ключа (источник напряжения отключен). До замыкания ключа К

(2)

Найдем емкость батареи после замыкания ключа.

Узел 3:

(3)

Узел а:

(4)

Узел b:

(5)

Контур а43ba:

(6)

Контур 5ab65:

(7)

Контур 5a4215:

(8)

Из приведенной системы уравнений (1)–(8) находим С0, q, U. Затем из соотношения определяем С, а из уравнения (1) DW.

Расчеты дают С0 = 0,38 мкФ; Q = 0,85U; С = 0,85 мкФ; DW = –0,39 мДж.

Таким образом, при замыкании ключа энергия батареи уменьшилась. Заметим, что заряд ее не изменился, а емкость увеличилась. Уменьшение энергии обусловлено выделением в цепи теплоты (перераспределение зарядов между конденсаторами сопровождалось возникновением электрического тока в соединительных проводах) и излучением электромагнитных волн при изменении силы тока.

Задача 7. Найдите электродвижущую силу источника тока в схеме, изображенной на рисунке 16. Заряды на конденсаторах 2С и С соответственно 3qи 2q. Внутреннее сопротивление источника не учитывать.

Рис. 16.

Решение. Заряды на обкладках конденсаторов определяются из соотношений:

(1)

(2)

где

(3)

(4)

(5)

С учетом (3), (4), (5) соотношения (1) и (2) примут вид:

(6)

(7)

Делим почленно (1) и (2), получим: ;

(8)

С учетом (3) и (4) имеем:

(9)

Тогда соотношения (6) и (7) примут вид:

(10)

Проверим результат по (7):

(11)

Задача 8. Какое количество теплоты выделится в цепи (рис. 17) при размыкании ключа?

Рис. 17.

Решение. Мы указали на схеме предположительные знаки зарядов на обкладках конденсаторов.

По второму правилу Кирхгофа:

. (1)

По закону сохранения заряда , т.е. ,

(2)

Решив систему, получим:

Выделившаяся в цепи теплота

(3)

Задача 9. В цепи (рис. 18) = 1 В, = 2 В, = 3 В, С1 = 20 мкФ, С2 = 30 мкФ, С3 = 60 мкФ. Найдите напряжение на каждом конденсаторе.

Рис. 18.

Решение. Так как конденсаторы соединены последовательно, то их общая емкость

, C = 10 мкФ.

Следовательно,

, q = 2∙10–5 Кл.

При последовательном соединении заряды всех конденсаторов одинаковы. Тогда

, U1 = 1 В, U2 = В, U3 = В.

Задача 10. Два конденсатора с емкостями C1 и С2 присоединены к двум источникам с и (рис. 19). Определите напряжение на каждом конденсаторе и разность потенциалов между точками а и b. Внутреннее сопротивление источников не учитывать.

Рис. 19.

Решение. Найдем общую емкость этих двух конденсаторов:

(1)

Заряды на них одинаковы (конденсаторы соединены последовательно): .·Заряд на каждом конденсаторе равен заряду на эквивалентной емкости С, т.е.

(2)

Напряжение на конденсаторах:

(3)

(4)

Для нахождения Uab рассмотрим участок цепи adb (рис. 20):

Рис. 20.

Из рисунка видно, что

Из этих соотношений получаем (вычитая из первого второе):

Задача 11. Какое количество теплоты выделится в цепи при переключении ключа К из положения 1 в положение 2 (рис. 21)?

Рис. 21.

Решение. При переключении ключа через батарею протечет некоторый заряд Dq. Работа батареи равна . Эта работа может частично пойти на увеличение энергии, запасенной в конденсаторе, частично – на выделение теплоты в цепи.

Как видно из рис. 21, заряд и, следовательно, энергия, запасенная в конденсаторе, не изменяются при переключении ключа. Меняются лишь знаки зарядов на обкладках. Следовательно, при переключении ключа К через батарею протечет заряд и в цепи выделится количество теплоты .

Задача 12. Конденсатор емкостью С, заряженный до напряжения U0 = , подключается через резистор с большим сопротивлением к источнику тока с ЭДС 5 (рис. 22). Определите количество теплоты, которое выделяется в цепи при зарядке конденсатора до напряжения U = 5.

Рис. 22.

Решение. Энергия конденсатора до подключения к источнику тока . При подключении конденсатора к источнику тока происходит подзарядка его до напряжения 5. При этом через источник тока протечет заряд , а энергия конденсатора увеличится и станет равной . Источник совершит работу .

Часть этой работы затрачивается на увеличение энергии конденсатора, а оставшаяся часть выделится в виде теплоты:

отсюда

Задача 13. Какое количество теплоты выделится в цепи при переключении ключа К из положения 1 в положение 2 (рис. 23), если емкость каждого конденсатора равна С?

Рис. 23.

Решение. При переключении ключа К емкость цепи не меняется. Напряжение на системе конденсаторов тоже неизменно и равно . Следовательно, энергия системы не изменяется и вся произведенная батареей работа переходит в теплоту. Для подсчета этой работы необходимо определить заряд, протекший через батарею. До переключения на этом конденсаторе С1 была половина заряда системы, т.е. (емкость системы равна ). После переключения заряда на конденсаторе С1 удвоится. Значит, через батарею протечет заряд , и, следовательно, батарея произведет работу . Выделившееся количество теплоты .

Расчет электростатических цепей

Электростатической или емкостной называется электрическая цепь, состоящая

из конденсаторов и источников э.д.с. Расчет такой цепи состоит в определении напряжений и зарядов отдельных конденсаторов. Рассмотрим расчет емкостной цепи с идеальными конденсаторами (рис. 51). При постоянных э.д.с..токов в ветвях этой цепи не будет. Для емкостных цепей на основании электростатической аналогии получают зависимости, аналогичные законам Ома и Кирхгофа путем замены токов I на заряды Q и проводимостей g на емкости С,

Рис. 51

Для цепей постоянного тока Для элетростатических цепей
Закон Ома
или I=U*g Q=U*C
1-й закон Кирхгофа
2-й закон Кирхгофа
или

Для расчета электрических цепей можно применять все методы расчета цепей постоянного тока, если емкости конденсаторов постоянны. Удобнее применять метод узловых напряжений.

Для преобразования соединения конденсаторов звездой в соединение треугольником и обратно производится по формулам, аналогичным 2.21 и 2.22. Переход от звезды к треугольнику (рис. 52а, б):

Рис. 52

Переход от треугольника к звезде (рис. 53,а, б).

Рис. 53

Пример 14. Определить напряжение на обкладках конденсаторов электрической цепи (рис. 54), если емкости конденсаторов =60 мкф, =40 мкф, =20 мкф, э.д.с. источников =100 B и =80 B.

Решение: Зададим произвольно направления зарядов конденсаторов (направления напряжений на конденсаторах). Для расчета данной цепи применим метод двух узлов.

Рис. 54

знак минус означает, что напряжение противоположно выбранному.

Проверка: по второму закону Кирхгофа для контура abcd:

76,7+103,3=100+80

для контура abfe:

-23,3+103,3=80

В отличие от идеальных, реальные конденсаторы имеют диэлектрик, обладающий хотя и большим, но конечным сопротивлением. Поэтому в цепях с конденсаторами при постоянных э.д.с. протекают токи, что в схемах учитывается включением параллельно конденсаторам сопротивлений утечки (рис: 55). Вследствие этого напряжения на конденсаторах распределяются в соответствии с сопротивлениями утечек вне зависимости от емкости конденсаторов. Заряды конденсаторов можно вычислить по известным значениям напряжений на конденсаторах и их емкостей.

Рис. 55